常用模板函数在变换作图中的重要性
提起函数图像的作图方法，估计好多学生会一口锁定描点法，其实高中更多使用的是变换作图法，尤其是在分秒必争的高考中。要想在很短的时间内，做出一个函数的大致草图，缺乏平时的对应训练几乎是不可能的。因此我们需要研究和总结函数图像的常用模板。
一、为什么要研究常用模板函数
请大家先看一个函数\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)，这个函数在高三数学学习中应该很常见，初次接触我们感觉很恐怖，心里都没有底，主要原因是不知道这个函数的图像和性质到底是什么样的。
别着急，慢慢看，我们对这个函数做个变换，
\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}\xrightarrow{x-2=t}t+\cfrac{1}{t}\)，
看到变换最后的函数\(g(t)=t+\cfrac{1}{t}\)，应该不陌生，看着眼熟吧，这时候你还害怕吗？对了，我们心里稍稍安稳了一些，通过模板函数的图像变换就可以搞定它，那你还害怕什么呢？
具体变换思路：先做出函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)，然后将函数\(f(x)\)的图像向右平移2个单位，得到函数\(f(x-2)\)，
也就是函数\(f(x-2)=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=h(x)\)，不是很简单吗？如右图所示，当我们把模板函数的性质研究的透透的，对于函数\(h(x)\)的图像和性质不也就知道了吗？
- 比如给出的这些貌似恐怖的函数，通过变换我们都能找到它们的模板函数
\(f(x)=\cfrac{x^2+2x+2}{x+1}\)；\(g(x)=\cfrac{x^2+2x}{x+1}\)；\(m(x)=\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}\)；
\(n(x)=\cfrac{x+1}{x^2+3x+3}\)；\(l(t)=\cfrac{1+t^2}{1+2\sqrt{2}t}\)；\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)；
二、变换作图中的常用模板函数有哪些
各种常见的基本初等函数自然都是模板函数，比如\(y=kx(k\neq 0)\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=x^a\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=a^x(a>0，a\neq 1)\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=log_a^x(a>0，a\neq 1)\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=sinx，y=cosx\)；
重点掌握 \(f(x)=|x|\)；\(\hspace{0.5cm}\) \(y=2^{|x|}\) \(\hspace{0.5cm}\) \(f(x)=\cfrac{1}{x}\)，\(\hspace{0.5cm}\) \(f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k>0)\)，\(\hspace{0.5cm}\) \(f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k<0)\)，\(\hspace{0.5cm}\) \(f(x)=[x]\)，\(\hspace{0.5cm}\) \(y=\cfrac{lnx}{x}\)，\(\hspace{0.5cm}\) \(y=\cfrac{e^x}{x}\)， \(\hspace{0.5cm}\) \(y=e^x+e^{-x}\)
三、常用模板函数的图像研究
- 函数\(y=x+\cfrac{1}{x}\)的单调性探究：
定义域是\(x\in(-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，且是奇函数，故只先研究\(x\in(0，+\infty)\)上的图像，研究工具是导数。
先求导，得到\(f'(x)=1-\cfrac{1}{x^2}=\cfrac{x^2-1}{x^2}\)，
令\(f'(x)>0\)，即\(x^2-1>0\)，得到\(x>1\)；
令\(f'(x)<0\)，即\(x^2-1<0\)，得到\(0<x<1\)；结合奇函数的特性，
可知，函数在区间\((-\infty，-1]\)单增，在\([-1，0)\)单减，在\((0，1]\)单减，在区间\([1，+\infty)\)单增，又\(f(1)=2，f(-1)=-2\)，
函数\(y=ax+\cfrac{b}{x}(a，b>0)\)的单调性探究：仿照上例，自行探究。
函数\(y=x-\cfrac{k}{x}(k>0)\)的单调性探究：仿照上例，自行探究。
四、变形时用到的主要方法：配凑法和换元法
我们知道，以下的这些变形其实都是以上述的函数为模板变换得到的
比如\(f(x)=\cfrac{x^2+2x+2}{x+1}\)；\(g(x)=\cfrac{x^2+2x}{x+1}\)；\(m(x)=\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}\)；\(n(x)=\cfrac{x+1}{x^2+3x+3}\)；\(l(t)=\cfrac{1+t^2}{1+2\sqrt{2}t}\)；\(h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}\)；
变形时用到的主要方法：配凑法和换元法，如果容易配凑，则用配凑法，如果不容易配凑则使用换元法，
高考模拟训练题目赏析
\(\cfrac{x^2+2x+2}{x+1}=\cfrac{(x+1)^2+1}{x+1}=(x+1)+\cfrac{1}{x+1}\)；
\(\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}=\cfrac{(x^2+3x+2)+1}{x+1}=\cfrac{(x+2)(x+1)+1}{x+1}=x+2+\cfrac{1}{x+1}=(x+1)+\cfrac{1}{x+1}+1\)；
\(\cfrac{x^2+2x}{x+1}=(x+1)-\cfrac{1}{x+1}\)；\(\cfrac{x+1}{x^2+3x+3}=\cfrac{1}{\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}}\)；
高考模拟训练题目赏析
\(\begin{align*} g(t)=\cfrac{1+t^2}{1+2\sqrt{2}t}&=\cfrac{\cfrac{1}{8}(2\sqrt{2}t+1)^2-\cfrac{\sqrt{2}}{2}t-\cfrac{1}{8}+1}{2\sqrt{2}t+1} \\&=\cfrac{\cfrac{1}{8}(2\sqrt{2}t+1)^2-\cfrac{1}{4}(2\sqrt{2}t+1)+\cfrac{9}{8}}{2\sqrt{2}t+1}\\&=\cfrac{1}{8}(2\sqrt{2}t+1)+\cfrac{9}{8(2\sqrt{2}t+1)}-\cfrac{1}{4} \\& \ge 2\sqrt{\cfrac{1}{8}\cdot \cfrac{9}{8}}-\cfrac{1}{4}=2\cdot\cfrac{3}{8}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{2}\end{align*}\)，
当且仅当\(\cfrac{1}{8}(2\sqrt{2}t+1)=\cfrac{9}{8(2\sqrt{2}t+1)}\)，即\(t=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)时取到等号。(这是配凑法，怎么，够震撼吧！)
高考模拟训练题目赏析
\(\begin{align*}g(t)=\cfrac{1+t^2}{1+2\sqrt{2}t}&=\cfrac{1+\cfrac{(m-1)^2}{8}}{m}\\&=\cfrac{1}{m}+\cfrac{m^2-2m+1}{8m}\\&=\cfrac{1}{m}+\cfrac{m}{8}-\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8m}\\&=\cfrac{m}{8}+\cfrac{9}{8m}-\cfrac{1}{4}\\&=\cfrac{1+2\sqrt{2}t}{8}+\cfrac{9}{8(1+2\sqrt{2}t)}-\cfrac{1}{4} \\& \ge 2\sqrt{\cfrac{1}{8}\cdot \cfrac{9}{8}}-\cfrac{1}{4}=2\cdot\cfrac{3}{8}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{2}\end{align*}\)，
当且仅当\(\cfrac{1}{8}(2\sqrt{2}t+1)=\cfrac{9}{8(2\sqrt{2}t+1)}\)，即\(t=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)时取到等号。
一般碰到分式形式的一元或二元函数，其特点是分子分母的最高次是2倍关系；我们常常将其转化为部分分式的形式，这样就能用均值不等式或对号函数的单调性来解决问题了。